市面上讲数学思维的书数不胜数，然而大多流于表面。在教授数学知识的同时，给与学生以真正受益的思维方式，才是教育者的重心。正如远山启所说：
教育所必须做的事情之一，就是教会学生如何从众多方法中选出最便于思考的那种方法。这里说的便于思考，并非仅指对于孩子来说方便使用，更重要的是，孩子在将来也能独立使用同样的思考方法。也就是说，作为教育者的成年人，应当去寻找具有发展性的思考方法来教授，这是教育的一项重要任务。
这套《数学与生活》是日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。一经上市，就受到广大读者的喜爱，累计畅销20万册，更是得到了科普作家，得到APP讲师卓克老师的大力推荐！
终于，在无数读者万众期待中，最新一本的《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》上市了！这本虽是数学史的写作，但却区别于一般的数学史，作者独创性的将数学划分为古代数学、中世纪数学、近代数学、现代数学，以生动的讲述方法清晰呈现了数学的发展脉络，并结合日常经验讲述了诸多数学概念与思想的来源与发展。
此外，本书还通俗地讲述了现代数学中的重要概念与方法，引导读者对数学产生更深刻的理解。
展开剩余93%下文节选自书中【近代数学】
来源 | 《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》
作者 | [日]远山启
译者 | 武晓宇
01
笛卡儿与《谈谈方法》
在数学领域中，真正首次明确提出近代思考方法的人，是笛卡儿（1596 —1650）。当然，这种突破并非完全靠一个人完成。
在笛卡儿之前，已经有很多研究者为这种突破打下了基础，之后便由笛卡儿明确、清晰地论述出这种方法，进而诞生了全新的数学思考方法。
笛卡儿的数学理论著作名为《几何学》，其法语书名是 La Géométrie。彼时正值 17 世纪初，这本《几何学》其实是笛卡儿为其著作《谈谈正确引导理性在各门科学上寻找真理的方法》（本书中简称为《谈谈方法》）撰写的附录。《谈谈方法》是非常有名的著作，此书虽薄，在学术的历史中却至关重要。
在哲学史中，这本著作也是近代哲学的开山之作。
《谈谈方法》所言之“方法”，指学问的研究方法。当时的哲学与今天所说的哲学有所不同，其研究范围囊括自然科学、数学等诸多学问，即研究一般化的方法。
今天的哲学与实际的科学已经相去甚远，似乎研究的都是普通人觉得晦涩难懂之事。当年的哲学则与科学有密切的联系，笛卡儿的哲学也是如此。
笛卡儿既是近代哲学的开山祖师，也是一位一流的数学家，而今天的哲学家里，同时还是科学家的人则少之又少。对于我们这些科学研究者而言，笛卡儿的哲学是非常容易理解的。
笛卡儿在《谈谈方法》中列出了四条关于研究方法的原则。
第一条原则是，“现在世上有许多著作，有很多被世人赞扬为伟大之人，但我对其全都持怀疑态度。这些东西或许并不是真的。首先要对其怀疑”。
后面，笛卡儿还这样写道：“凡是我没有明确证明为真理的东西，我都不将其作为真的来接受。也就是说，要小心避免轻率判断和偏见，除了清晰地呈现在我的精神中、让我毫不对其产生怀疑的东西外，我绝不让自己的判断包含其他的东西。”
也就是说，只相信自己从心底里判断为真的事情。简单来说，这条原则就是“首先怀疑一切”。
第二条原则是，“对于我要研究的每一个难题，在必要的限度下将其尽可能多地分割为若干小部分，以便更好地解决它们”。将困难的问题适当地进行分割，然后再逐个击破，进而解决困难的问题。
简单来说，这条原则就是“分析”。
第三条原则是与“分析”相对的“综合”，即“从最简单、最容易认知的对象开始，逐步，也就是按照阶段来认识复杂的对象。对于那些本来没有前后关系的对象，我也假定它们之间存在顺序，以便建立我思想的顺序，引导我的思想”。
简言之，对于分解出来的小部分，用适当的方法建立秩序，把它们连接起来，这就是“综合”的方法。
第四条原则是，“最后要全面地考察所有情况，并再次对其进行广泛的复查，做到确信毫无遗漏”。用这种方法，能检查自己所做的事情是否存在遗漏。
笛卡儿提出的这四条，看上去似乎都是理所当然之事。如果这样想的话，那其实所有真理也都是理所当然之事，没什么难的。但是，普通人却很难觉察到这些事情。
确实，这些事情说起来似乎让人觉得理所当然，但如果不是笛卡儿明确地提出来，这些“理所当然”其实一直是模糊不清、难以被我们察觉的。
像这样，存在于所有人的日常经验之中，又难以被大家明确意识到的事情，只能由像笛卡儿这样的天才发现并提出来。虽然这类发现看上去很平凡，但在被发现者提出之前，所有人都难以意识到它们的存在。笛卡儿的这些思考方法运用到数学之中，其结果就是笛卡儿的几何学。
02
坐标与分析·综合
笛卡儿构想出了坐标，这彻底改变了几何学中的思考方法。
从这一点上来说，笛卡儿的几何学和欧几里得的几何学可谓大相径庭。笛卡儿使用坐标，欧几里得则不用，这是巨大的差异。笛卡儿在构建自己的新几何学时，几乎没有借用欧几里得的东西。
笛卡儿借用的只有两个定理，即相似三角形的性质定理（相似三角形的对应角相等，对应边成比例）和毕达哥拉斯定理（勾股定理）。除此之外，笛卡儿几何学再没有任何欧几里得几何学的东西。
确实，在解析几何学中，使用坐标考察直线等图形时，会不可避免地涉及相似三角形的相关定理。如果没有相似三角形的性质定理，那么就无法证明“直线可以用一次方程来表达”，所以该定理是必要之物。
同样，如果没有勾股定理，那么就无法计算两点之间的距离，所以它也是必要之物。不过，既然只借用了这两个定理，那么可以说，解析几何学与欧几里得几何学在根本上是不同的。虽然二者的有些结论相同，但其方法完全不一样。
如前所述，笛卡儿的“分析”方法会将事物尽可能地划分为小的部分来研究，这种方法同样被用在了解析几何学中。
例如，在解析几何学中，平面上的点被表示为 坐标和 坐标这两个数的组合形式，即对一个点进行了横纵分割。二维的平面，可以用两条一维的线进行分割。这正是使用了分析的方法。
虽然笛卡儿的几何学被称为解析几何学，但解析一词的英语单词 analysis 通常被翻译为“分析”，所以我觉得，将笛卡儿的几何学称为分析几何学或许更贴切。
像这样，解析几何学的出发点是“点的位置”。因为图形中最简单的东西是点，所以要从“确定点的位置”这一点出发。解析几何学先对点的位置进行了横纵分割，然后用数来表示横与纵，即用数来表示 和 。如此，点的位置也随之变为两个数的组合。
这种方法将几何学与数的世界相连接，让用计算研究图形性质一事成为可能。欧几里得几何中不使用任何计算，在该体系中几何就是几何。但是，在笛卡儿的体系中，图形也能够借助于计算这一强力手段来研究。
笛卡儿在其他文章中说过：“我所做的事情，是为了实现‘用代数的方式研究几何’。”几何非常直观，易于观察，但无法进行更加细致、深层的研究。
与之相反，代数虽然不够直观，但可以使用计算这一精密手段。也就是说，笛卡儿对代数和几何二者进行了取长补短，使得代数和几何结合在一起。让两门本来不相干的学问结合在一起，这是笛卡儿的伟大功绩之一，也是近代数学的开端。
03
变化与运动
笛卡儿的解析几何学还有一个非常重要的地方，那就是使用坐标后，该体系能够非常完美地捕捉物体的运动与变化。例如，物体的变化可以用图像直观地呈现出来，这是欧几里得几何学中无法实现之事。也就是说，在笛卡儿的几何学诞生之前，人类无法科学地把握运动与变化。
所以即便是在物理学中，当时力学的相关内容也都是针对静止物体的，对于运动物体则无从下手。这种力学可以称为静止力学，它无法把握物体运动的相关法则。
但是，笛卡儿的几何学使其成为可能。这就是近代数学的力量。也就是说，如果说中世纪数学是静止的，那么近代数学就是动态的。这是一种巨大的变化，这种变化并不限于数学领域，在整个科学领域都是划时代的突破。数学是如何推动科学发生这种巨变的呢？那就是近代数学为牛顿力学的诞生提供了巨大的支撑力。
04
从地心说到日心说
在人类认识世界的历史中，日心说的出现可谓一个重大事件。
过去的人类仅在地球这一狭小空间中进行思考，于是产生了“地球是不运动的，而太阳是运动的”的认识，这便是地心说。这是人类朴素的感觉，是非常自然的。任何人都无法从感觉上发现地面是在运动的，我们所能直观看到的就是太阳在运动。
与之相对，我们的语言中也有“稳如泰山”等说法，这反映出在人类的意识中，山是静止的。但实际上，山也以非常惊人的速度在运动。山川、大地等地球上所有的东西都在运动着，对于人的认知而言，这是非常具有冲击性的。所以说，日心说的出现是人类认识世界的历史中非常重要的事件。
我们从小在学校就被教授日心说的相关知识，所以对其并不会感到惊讶，但这对于中世纪的人来说，可谓天翻地覆的理论。正因如此，日心说的倡导者哥白尼（1473 —1543）非常害怕自己会不容于世，所以他在遗言中嘱托，自己所写的日心说著作要在自己死后再出版，因为这样就不用担心自己被判死刑了。在哥白尼之后，公开宣扬日心说的乔尔丹诺·布鲁诺（1548 —1600）便被宗教势力以火刑处死。
日心说并非仅仅是天文学中的学说，它颠覆了中世纪人们的世界观。在此之前，人类从未经历过如此反常识的冲击。当然，这种认识上的革新自然也冲击了基督教的权威。
05
伽利略与日心说
布鲁诺殉难后，伽利略（1564 —1642）用精密的逻辑对日心说进行了扩展，这就是他所撰写的《关于两种世界体系的对话》（1632）。这本书的日文译本收录在岩波文库之中，即便现在读来也会让人觉得非常有趣。
伽利略是一位物理学家，但他兼具文学之才，这使得这本书历久弥新，时至今日仍能让人读得津津有味。
伽利略对地心说的支持者展开了毫不留情的攻击。他的言语重创了地心说的支持势力，也激怒了宗教势力。
如大家所知，伽利略遭受了宗教势力的审判，并在审判中被迫承认自己的观点是错误的。伽利略虽然免于死刑，但他被判以禁足处分，终生不得外出。
自此之后，伽利略无法自由活动，也无法离开自己的故乡。不过，他充分利用这段被禁足的时间，撰写了《关于两种新科学的论述与数学证明》（1638）一书。这本书清晰地讲解了现在被我们称为力学的原理，而且通俗易懂。这本书也进一步增强了日心说给世人带来的震撼之感。
从哥白尼、布鲁诺到伽利略，历经无数人的牺牲，最后牛顿（1643 —1727）终于彻底完成了日心说理论。牛顿将伽利略和开普勒（1572 —1630，德国天文学家、数学家）的研究成果完美地统一在一起，开创了牛顿力学。
粗略来说，伽利略在《关于两门新科学的对话》中讲述了地球上的物体的运动法则。与之相对，开普勒则揭示了天体的运动法则。而牛顿则用同一个原理将二者统一起来。
伽利略用自制望远镜首次观察月球时，注意到了一件事，这让他大为吃惊。亚里士多德曾主张，地面上的物质杂多而脏污，而月球以及比月球更遥远的天体则不同，它们由更高等的物质构成。
当时的世人对亚里士多德的这一观点深信不疑，但是伽利略在望远镜中看到，月球上也存在山峰、山谷和沟壑，与地球表面的状态相似。由此，伽利略提出一个猜想，即月球或者说宇宙整体都由相同的物质构成。这一发现，在人类认识世界的历史中，又是一个划时代的突破。
伽利略的这一发现所带来的重大意义，可以说远胜于阿波罗号的登月之举。但是，就算是伽利略这样厉害的人，也无法摸索到更进一步的真相，即地球上的物体与天体是受同一法则所支配的。
解开这个谜题的人正是牛顿。而牛顿解开这个谜题所使用的有力武器，正是微积分这一全新的数学领域。牛顿几乎完美地证明了日心说，他证明了太阳系的运动法则，而这一证明所使用的正是微积分。
微积分，可以说是为了证明牛顿力学而诞生的方法，所以它天生就和物理学有着密切的关系。
06
微分与积分
微积分究竟是什么呢？简单来说，这种方法就隐含在前文所述的笛卡儿四条原则中的第二条和第三条中。第二条原则是，研究复杂问题时，要尽可能地将其分为若干小部分，让难题变简单。这就是分析。
我们再读一下笛卡儿这句话：“对于我要研究的每一个难题，在必要的限度下将其尽可能多地分割为若干小部分，以便更好地解决它们。”这其实就相当于微分。微分如其字面之意，就是将事物分割为若干微小部分。
笛卡儿的第三条原则，则恰好对应积分，即将细致分割出的部分再次连接组合起来。微分相当于分析，积分则相当于综合。积分这个词，其实有把分割出来的部分积累起来的意思，是个非常巧妙的词。
过去，微积分被认为是非常难的东西，但其实从某种意义上说，微积分是一种非常简单的思想。有一些观念认为微积分晦涩难懂，但其实微积分的思考方法是极其自然的，我们甚至可以完全按照微分、积分的字面意思去理解。
有人觉得以前没多少人懂微积分，但实际并非如此。只不过，过去的微积分在微分上关于无穷分割的那部分内容有一点不同。这部分内容说难的话确实有些难度。在过去，有种说法将微分按照其字面意思称为“微微略懂”，把积分则称为“积而则懂”，不过这些都是玩笑话，现在已经没有这些说法了。
例如，大家都知道，今天的高中教学中有关于微分的内容，就是图 1-1 中关于曲线的一些内容。
如图 1-1 所示，该曲线直接来看的话是弯曲的，但是如果对其进行细致分割，然后取其中一部分进行观察，分割出的部分就近似于直线了。分割得越精细，其分割出的部分越接近直线。
曲线是一种非常复杂的东西，但直线非常简单。通过分割，将复杂的曲线近似为简单的直线，这种构想就是微分。虽然不断“近似”的话会出现很多麻烦的事情，不过这种想法本身是非常简单的。
用放大镜观察曲线的一部分，我们也能发现这部分会变得接近于直线。如果使用显微镜这种高倍率的观察设备来看，会发现其更加接近直线。如果使用电子显微镜看的话，会发现它几乎就要变成直线了。
总之，使用倍率越高的显微镜观察曲线，所看到的曲线就越接近于直线。这其实就是微分的构想，没什么特别之处。之所以要把曲线近似为直线，是因为直线是非常容易处理的对象。不过，当我们不断提高显微镜的倍率时，虽然观察到的部分
会越来越精细，但相应地，我们的视野也会越来越狭小，这是这种方法的一个缺陷。我们只能看到观察对象的一小部分，观察的范围会越来越小。为了弥补这个缺陷，我们可以将观察到的细小部分连接、组合起来，这样就能看到整体的情况了。这种连接、组合就是积分。如果我们明白了这些事情再来学习微积分，就会明白微积分的思考方法是极其简单的。
07
微分与积分的力量
从某种意义上来说，微积分确实是非常简单的思考方法，而这种简单的思考方法却发挥出了惊人的威力。在数学中，能发挥如此威力的构想并不多见。
其实，只要稍微学过一点微积分的人，就能知道其重要性。假如没有微积分，现代数学可能只能发展到现在程度的三分之一左右。
同样，如果没有微积分，现代天文学、物理学也都会失去其体系中的重要支柱，像如今这种程度的发展也无从谈起。可以说，如果不使用微积分，那么自然方面的研究几乎无从下手。
然而，微积分这么重要的东西，其思考方法却简单至极，只不过是对笛卡儿四条原则中的第二原则和第三原则的一种完美应用而已。
简单来说，微积分相当于帮助我们观察种种现象的“精巧镜头”。如前文所述，对于弯曲的东西，用微分这一“镜头”就能将其近似为直线，从而使得研究难度大幅度降低。
微分这一“镜头”，就相当于显微镜，能让我们观察到非常细小的部分。积分则是将这些细小的部分连接、组合起来，让我们将研究对象再次视为曲线来理解。
先分割再连接组合，微积分就是这么简单的构想。如果没有微积分，我们就无法研究太阳系的各个行星是如何围绕太阳运动的，也就无法发现太阳系天体的运动法则。
为了解决太阳系天体运动这个在当时来说至关重大的问题，牛顿构想出了微积分这一方法。前文中曾提过，牛顿将伽利略、开普勒的研究连接了起来，创建了牛顿力学。
行星具体是怎样运动的，其实在牛顿出生之前，开普勒就已经研究清楚了，并创立了今天所说的开普勒定律。
《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》
作者：[日]远山启
译者：武晓宇
一部数学史，讲明现代数学的本质和意义，读懂百年数学。
数学教育巨匠远山启的数学科普力作，回答“数学是什么”的疑问；
讲清数学的发展脉络，解读数学思想的来源与发展，还原数学多变“容貌”的本质。
《数学与生活》系列
作者：[日]远山启
译者：武晓宇等
《数学与生活》系列为日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。
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市面上讲数学思维的书数不胜数，然而大多流于表面。在教授数学知识的同时，给与学生以真正受益的思维方式，才是教育者的重心。
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